Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte. Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII, American Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.

Bilangan desimal yang dinyatakan sebagai bilangan biner akan berbentuk sebagai berikut:

2⁰=1

2¹=2

2²=4

2³=8

2⁴=16

2⁵=32

2⁶=64

dst

contoh: mengubah bilangan desimal menjadi biner

desimal = 10.

berdasarkan referensi diatas yang mendekati bilangan 10 adalah 8 (2³), selanjutnya hasil pengurangan 10-8 = 2 (2¹). sehingga dapat dijabarkan seperti berikut

10 = (1 x 2³) + (0 x 2²) + (1 x 2¹) + (0 x 2⁰).

dari perhitungan di atas bilangan biner dari 10 adalah 1010

Mengapa bilangan biner terdiri hanya angka nol dan satu?. Mungkinkah bilangan nol dan satu cukup “sakti’ sehingga dijadikan angka peng’ejawantahan’ sistem digital yang mendarah daging pada setiap sendi kehidupan?.

Kompleksibilitas angka 0.

Angka 0 dianggap mempunyai nilai yang pasti sehingga 1+0=1. Tapi ada yang menganggap 0 identik dengan tak berhingga (~), karena memiliki nilai yang tidak pasti. Coba saja kalikan sebuah bilangan dengan nol. Mengapa hasilnya menjadi tidak ada alias nol.

Kebingungan itu berhulu dari apakah nol termasuk sebuah perlambang angka atau bilangan yang turut serta dalam operasi perhitungan. Bila menilik sejarah tak ada yang tahu dengan pasti kapan simbol ketiadaan ini pertama kali muncul. Ratusan tahun yang lampau manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan, yakni 1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9. Kemudian datang sang pembuat kontrversi, angka 0.

Ada yang mengatakan nol memulai kisah sejarahnya dari Mesir. Lain pihak menyatakan angka ini pertama kali mucul lewat sejarah Babylonia, wilayah Irak sekarang, dan menyebar ke Jazirah Arab serta India. Pertama kali ia hanya dijadikan lambang pelengkap dari deretan bilangan: nol sebagai angka 0 dan sebagai tanda pengisi tempat kosong dalam sistem bilangan. Bedakan antara 2106 dan 216.

Semula angka masih berupa angan yang abstrak, yang konsepnya jauh dari konkrit. Orang menyebut gucangan mental ketika menemukan lima kuda menjadi 5 kuda begitu dibubuhkan diatas kertas. Bangsa Babylonia yang menorehkan itu pertama kali, selama lebih 1.000 tahun tak peduli dengan keambiguan nol. Orang-orang Kish, nama tempat di Selatan Irak sekarang, sekitar 700 tahun sebelum Masehi menggunakan tanda tiga pengait untuk mengisi tempat kosong diantara posisi angka. Di belahan dunia lain, bangsa Yunani kuno memakai penanda tempat kosong dalam deret bilangan. Dipelopori oleh Ptolemius, ahli algoritma, merasa memperkenalkan nol dengan bentuk 0 seperti sekarang ini pada 130 Masehi.

Meski baru menggunakan lambang 0 untuk menandai nol pada 876 Masehi, Aryabhata, matematikawan India, telah memasukkan nol dalam sistem perhitungan bukan sekedar tempat kosong. Lewat tiga serangkai Brahmagupta, Mahavira dan Bhaskara lahirlah operasi aritmatika yang mengikutsertakan nol. Mereka menghasilkan risalah yang merupakan karya hebat masa itu: nol ditambah dengan bilangan negatif hasilnya bilangan negatif dan bilangan positif ditambah nol hasilnya positif. Nol dikurangi bilangan negatif hasilnya positif, nol dikurangi positif hasilnya negatif dan nol ditambah nol hasilnya nol. Begitu pula hasil perkalian dan pembagian dengan nol, yang hasilnya sama dengan yang dikenal sekarang.

Kerja brilian matematikawan India ini berembus ka Barat, tepatnya Jazirah Arab. Dan ke Timur, tepatnya di Cina. Di Irak orang menyebut Ibnu Ezra yang hidup pada abad 12 Masehi, di Cina Chu Shih Chieh yang hidup pada abad 13 dan Fibonacci pada abad ke 12 di Italia, yang memperkenalkan dan mengembangkan penggunaan nol sebagai tanda dan perhitungan. Patut dicatat sumbangan suku maya yang mendiami selatan Meksiko pada 665 Masehi yang mengawali angka nol lewat satuan nilai berbasis 20. Pada 1600 penggunaan nol telah meluas di dunia.

Hingga kini nol masih berselaput misteri. Nol berguna untuk membedakan 5,50,500. Nol nyata sebagai angka, tapi perdebatan tak jua usai saat 5 dibagi 0. Ajukan pertanyaan ini dan anda menemukan kernyitan dahi.

Pembuktian 0!=1

n! (n faktorial) didefinisikan sebagai perkalian seluruh anggota bilangan positif dari 1 hingga n. Dengan kata lain," n!=1x2x3x...xn:

1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720
7!=5040
8!=40,320
9!=362,880
...

Kadang kita melihat pernyataan 0!=1. Mengapa demikian? Kelihatan bahwa kita tidak mungkin melakukan perkalian dari 1 “naik” hingga nol. Dan jika kita “mundur” (1x0), maka diperoleh nol. Menguji faktorial, kita akan menggunakan persamaan n!=n(n-1)!. Contohnya 17!=17x(16!):

16!=1x2x...x16
17!=(1x2x...x16)x17

Persamaan (n!=n(n-1)!) hanya menyederhanakan dengan peletakan tanda kurung. Dengan memasang n=1, kita akan memperoleh nilai 0!:

1!=1(0!)
0!=1

Bilangan nol: tunawisma

Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa?

Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol? Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh.

Perhatikan garis bilangan, di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.

Bergerak, tetapi diam

Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah.

Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka garis bilangan pada Gambar 1a tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat… yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, …, 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2?

Cermin

Nol merupakan cermin, bilangan 1, 2, 3, dst memiliki bayangan pada “cermin” 0 yaitu -1, -2, -3, dst. Bilangan nol (0) adalah satu-satunya bilangan yang tidak mempunyai lawan (bil. negatif).

Akan tetapi keberadaan bilangan nol (0) bisa dibuktikan oleh bilangan itu sendiri.

Misal:
Jika suatu bilangan dibagi oleh bilangan itu sendiri, maka hasilnya = 1.

4/4 = 1

3/3 = 1

-4/-4 = 1

-3/-3 = 1

Oleh karena itu :

0/0 = 1, bukti bahwa bilangan 0 memang harus ada. 0 = 1 * 0, bukti bahwa suatu bilangan jika dikalikan dengan 0, maka hasilnya = 0
0/1 = 0, bukti bahwa bilangan 0 dibagi berapapun, maka hasilnya = 0.

Mengapa 0/0 bukan 0 saja ??. Sebab kalau 0/0=0, disamping tidak sesuai dengan “suatu bilangan dibagi bilangan yang sama hasilnya 1, juga kita akan kesulitan menentukan pangkat 0.

Misal:
2^3 = 2 x 2 x 2 = 8

2^2 = 2 x 2 = 4

2^1 = 2

2^0 = 1 , masak bilangan dipangkatkan kok jadi hilang.

Yang unik malah perpangkatan bilangan 1.

1^0 = 1

1^1 = 1

1^2 = 1 x 1 = 1

Kemandirian Angka 1

1 (satu) adalah sebuah angka, sistem bilangan, dan nama dari glyph yang mewakili angka tersebut. Angka ini merupakan bilangan asli setelah 0 dan sebelum 2. Angka ini mewakili hal tunggal. Satu kadang-kadang disebut sebagai tunggal atau unit. Untuk angka x:

x·1 = 1·x = x (Hal ini menunjukkan bahwa 1 merupakan angka identitas dalam perkalian - semua bilangan dikali 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri).

x/1 = x (Semua bilangan dibagi 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri)

x¹ = x (Semua bilangan pangkat 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri)

1^x = 1 (1 pangkat bilangan apapun hasilnya tetap 1)

Untuk x yang bukan 0, x⁰ = 1

x↑↑1 = x dan 1↑↑x = 1 (lihat tetrasi).

Di dalam sistem bilangan riil, angka 1 dapat diwakili oleh dua macam cara sebagai angka desimal berulang: 1,000... dan 0.999... . Lihat artikel tentang 0,999... untuk penjelasan lebih lanjut mengenai hal ini.Di dalam axiom Peano atau representasi Von Neumann tentang bilangan natural, angka 1 didefinisikan sebagai himpunan {0}. Himpunan ini memiliki kardinalitas 1 dan urutan hereditas 1. (Himpunan yang hanya memiliki satu anggota saja disebut himpunan tunggal).Di dalam buku Principia Mathematica, matematikawan Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell mendefinisikan angka 1 sebagai himpunan seluruh himpunan tunggal.